La solution est simple et à retenir :
var=$(($var + 1))
Bien sûr ceci ne se limite pas à une simple incrémentation : toutes les opérations de calcul sont possibles.
Notons que
var=$(( var + 1 ))
fonctionne aussi, mais personnellement il me semble que cet usage est un mauvaise habitude qui pousse à oublier par la suite de préfixer les variables lues par un $